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Fuhrmann Thomas

Ausgleichung geodätischer Aufgabenstellungen mittels Gröbnerbasen

Ausgangspunkt dieser Arbeit ist das Vorhandensein redundanter Beobachtungen; diese können in Form von Winkel und Streckenmessungen, Koordinatendifferenzen etc. vorliegen. Mithilfe dieser Beobachtungen sollen anschließend plausible Werte für die Unbekannten, die mit den Beobachtungen in einem funktionalen Zusammenhang stehen, berechnet werden.

In der Geodäsie wird aus historischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Gründen die Methode der kleinsten Quadrate (auch Parameterschätzung nach der L2–Norm) eingesetzt. Die bisherige Lösung im Falle nicht–linearer Zusammenhänge beruhte auf einer Linearisierung des funktionalen Modells und anschließender Minimierung der Verbesserungsquadratsumme mit dem aus der Linearisierung gewonnenen Gleichungssystem als zusätzlicher Bedingung.

Die in den letzten Jahrzehnten in Bereichen wie der Computeralgebra und kommutativen Algebra gewonnenen Erkenntnisse ermöglichen eine Lösung des funktionalen Modells ohne Linearisierung. J. L. Awange und E. W. Grafarend (Algebraic Geodesy and Geoinformatics, Springer 2010) haben erste Schritte in Richtung einer algebraischen Geodäsie gesetzt; ihr Ansatz beruht auf einer Ausgleichung der Verbesserungsquadratsumme mittels Gröbnerbasen. Dabei werden die partiellen Ableitungen (nach den Unbekannten des funktionalen Modells) der Verbesserungsquadratsumme gebildet und in den Buchberger–Algorithmus eingesetzt. In dieser Arbeit soll dieser Ansatz weiterverfolgt werden; untersucht wird die Anwendung dieser Methode auf klassische Aufgabenstellungen der Geodäsie.

Voraussetzung für die Anwendung algebraischer Methoden (Gröbnerbasen) ist eine Modellierung in Polynomen mehrerer Unbekannte. Die in der Geodäsie eingesetzten, auf transzendenten Funktionen basierenden, mathematischen Methoden eignen sich nicht für die Anwendung des Algorithmus. Daher soll eine geeignete algebraische Formulierung der geodätischen Aufgabenstellungen erarbeitet werden.

Der in dieser Arbeit verfolgte Ansatz geht zurück auf die Arbeiten von N. J. Wildberger (Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry, Wild Egg Books 2005). Anstelle von Winkel und Strecken werden Spreizung (engl. spread) und Quadratur (engl. quadrance) eingeführt. Dadurch erhält man eine Formulierung in rationalen Funktionen, die sich für eine algebraische Lösung der geodätischen Aufgabenstellungen eignen. Diese neue Formulierung soll anhand praktischer Beispiele erprobt werden. Konkret sollen Höhennetze, Winkelmessungen, Streckenmessungen und Kombinationen aus Winkel– und Streckenmessungen gelöst werden.

Literatur
B. Buchberger. Ein algorithmisches Kriterium für die Lösbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems. Aequationes Mathematicae 4, 1970.
M. Drmota. Skriptum zu der Vorlesung Computer algebra.
E. W. Grafarend, J. L. Awange, B. Pálancz, P. Zaletnyik. Algebraic Geodesy and Geoinformatics, Springer 2010
N. J. Wildberger. Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry, Wild Egg Books 2005
G. Navratil. Skripten zu den Vorlesungen Ausgleichsrechnung I und II


Betreuer: Gerhard Navratil

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